Produit actif d'un médicament (d'après bac 2018)

Un médicament est administré à un patient par voie orale. La concentration dans le sang du produit actif  en milligramme par litre (mg/L) en fonction du temps `t` écoulé, en heures, est modélisée par la fonction `f` dont la courbe est représentée ci-dessous.

1.  Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes.

    a. Quelle est la valeur maximale de la concentration du produit actif de ce médicament dans le sang du patient ?

    b. On admet que le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est supérieure à 5 mg/L. Pendant combien de temps le produit actif de ce médicament est-il efficace ?

2. On admet que la fonction `f` est définie sur l'intervalle \([0~;6]\) par `f(t)=t^3-12t^2+36t` .

    a. Démontrer que, pour tout réel `t` appartenant à l'intervalle \([0~;6]\) ,  \(f'(t)= (3t- 6)(t - 6)\) .

    b. En déduire le tableau de variations de la fonction `f` sur l'intervalle \([0~;6]\) . La réponse à la question 1. a est-elle confirmée ?

    c. Yorick affirme qu'au bout de 5 heures, la concentration dans le sang du produit actif est inférieure à 20 % de sa valeur maximale. A-t-il raison ? Justifier par un calcul.